Mathematik an der Fachoberschule

Mathematik

Man gönnt sich ja sonst nichts.

Mathematik ist ein zentrales Unterrichtsfach in allen Fachrichtungen der Fachoberschule. Ziel unseres Mathematikunterrichts ist es, die Mathematik den Schülerinnen und Schülern in ihren diversen Anwendungskontexten näher zu bringen. Neben der Anwendungsorientierung sollen die Schülerinnen und Schüler vor allem mathematische Inhalte als eine eigene Welt geistiger Schöpfungen wahrnehmen und anhand von verschiedenen Aufgabenstellungen ihre Problemlösefähigkeit erweitern.

Ein besonderes Anliegen ist uns den Lernenden bewusst zu machen, dass man vor der Mathematik keine Angst zu haben braucht und dass Mathematik keine langweilige Theorie ist, sondern sich durch lebendige und faszinierende Inhalte auszeichnet. Aus diesem Grund legen wir unter anderem großen Wert auf ein fehlertolerantes Umfeld, da dies unserer Ansicht nach die Grundlage für einen konstruktiven und nachhaltigen Mathematikunterricht ist.

„Die Mathematik ist als Fachgebiet so ernst, dass man keine Gelegenheit auslassen sollte, dieses Fachgebiet so unterhaltsam wie möglich zu gestalten.“

Blaise Pascal

„Die Mathematik ist als Fachgebiet so ernst, dass man keine Gelegenheit auslassen sollte, dieses Fachgebiet so unterhaltsam wie möglich zu gestalten.“

Blaise Pascal

Lerninhalte

Lerninhalte der Fachrichtung Technik

Aussagenlogik, Mengenlehre mit Zahlenmengen, Rechenregeln
Gleichungen und lineare Ungleichungen
Lineare und quadratische Funktionen
Lineare Gleichungssysteme
Dreieckslehre
Berechnungen von Längen, Flächen und Volumina
Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit
Exponentialfunktion und Logarithmus

Untersuchung ganzrationaler Funktionen
Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen
Vektoren im \(mathbb{R}^2\) und \(mathbb{R}^3\), lineare Unabhängigkeit und lineare Gleichungssysteme
Produkte von Vektoren

Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen
Exponentialfunktion und Logarithmus
Kurvendiskussion von Funktionen, die aus Verknüpfung / Verkettung von Exponentialfunktionen mit linearen und quadratischen Funktionen hervorgehen
Integralrechnung
Produkte von Vektoren
Geraden und Ebenen im Raum – Geometrische Anwendung im \(mathbb{R}^3\)

Abschnittsweise definierte Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Gebrochen-rationale Funktionen

Umkehrfunktionen
Vertiefung des Integralbegriffs
Integralrechnung, Integrationsverfahren
Anwendung der Differenzial- und Integralrechnung
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Zufallsexperiment und Ereignis
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Grundlagen der Kombinatorik
Bernoulli-Ketten
Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Testen von Hypothesen

4 der 9 Lernbereiche müssen gewählt werden. Die Lehrkraft trifft die Auswahl:

Komplexe Zahlen
Beweisverfahren
Beurteilende Statistik
Matrizen und Determinanten
Sphärische Geometrie
Taylorpolynome
Boole’sche Algebra
Kurvenparametrisierung
Freies Projekt

Weitere Informationen zu den Lerninhalten finden Sie hier: LehrplanPLUS

Lerninhalte der Fachrichtungen Sozialwesen und Wirtschaft

Aussagenlogik, Mengenlehre mit Zahlenmengen, Rechenregeln
Gleichungen und lineare Ungleichungen
Lineare und quadratische Funktionen
Lineare Gleichungssysteme
Dreieckslehre
Berechnungen von Längen, Flächen und Volumina
Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit
Exponentialfunktion und Logarithmus

Untersuchung ganzrationaler Funktionen
Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen
Zufallsexperiment und Ereignis
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Grundlagen der Kombinatorik

Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen
Exponentialfunktion und Logarithmus
Kurvendiskussion von Funktionen, die aus Verknüpfung / Verkettung von Exponentialfunktionen mit linearen und quadratischen Funktionen hervorgehen
Integralrechnung
Bernoulli-Ketten
Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Testen von Hypothesen

Verpflichtend:

Trigonometrie und trigonometrische Funktionen

Optional (die unterrichtende Lehrkraft wählt 3 weitere Lernbereiche):

Lineare Gleichungssysteme
Vektorrechnung
Folgen und Reihen
Gebrochen-rationale Funktionen
Statistik
Näherungsverfahren
Freies Projekt

Grundlegende Eigenschaften der gebrochen-rationalen Funktionen
Kurvendiskussion der gebrochen-rationalen Funktionen
Grundlegende Eigenschaften der \(ln\)-Funktionen
Kurvendiskussion von Funktionen, die aus Verkettung und / oder Verknüpfungen von Exponentialfunktionen bzw. Logarithmusfunktionen mit rationalen Funktionen hervorgehen
Vektoren im \(mathbb{R}^2\) und \(mathbb{R}^3\), lineare Unabhängigkeit und lineare Gleichungssysteme
Produkte von Vektoren
Geraden und Ebenen im Raum – Geometrische Anwendungen im \(mathbb{R}^3\)

4 der 9 Lernbereiche müssen gewählt werden. Die Lehrkraft trifft die Auswahl:

Komplexe Zahlen
Beweisverfahren
Beurteilende Statistik
Matrizen und Determinanten
Sphärische Geometrie
Taylorpolynome
Boole’sche Algebra
Kurvenparametrisierung
Freies Projekt

Weitere Informationen zu den Lerninhalten finden Sie hier: LehrplanPLUS

Ein weltumspannendes Gedankenexperiment

An dieser Stelle möchte ich euch ein kleines Gedankenexperiment vorstellen, das zu einem erstaunlichen Ergebnis führt.

Stellen wir uns hierzu vor, dass wir ein Seil um die Erde spannen würden, sodass dieses an jeder Stelle exakt auf dem Erdboden aufliegt. Laut Wikipedia beträgt der Umfang der Erde am Äquator 40.075,017 Kilometer. Das Seil hat also genau diese Länge. Wir schneiden nun dieses extrem lange Seil an einer Stelle auf, verlängern es genau um 1 Meter und legen das Seil wieder um die Erde.

Es stellt sich nun die Frage, wie hoch nun der Abstand des um 1 Meter verlängerten Seils vom Erdboden ist.

Mein (hoffentlich) gesunder Menschenverstand sagt mir, dass nicht mal ein Blatt Papier zwischen dem Erdboden und dem verlängerten Seil passt. Das 40.075,017 Kilometer lange Seil wurde immerhin ja nur um 1 Meter verlängert. Das kann doch keine große Auswirkung haben!

Versuchen wir dieses Problem mathematisch zu lösen.

Übersetzung in die Sprache der Mathematik

Wenn wir die Aufgabenstellung mathematisch modellieren möchten, müssen wir zunächst von einer idealisierten Erde ausgehen. Das bedeutet, dass wir die Erde als Kugel, bzw. den Äquator als Kreis auffassen (in der Realität ist die Erde natürlich nicht exakt eine Kugel und der Äquator nicht exakt ein Kreis). In nebenstehender Abbildung habe ich die Aufgabe skizziert. Der rote Kreis ist dabei das um 1 Meter verlängerte Seil. Die Länge \(h\) ist die gesuchte Länge, also der Abstand des neuen Seils vom Erdboden. Eine wichtige Formel für die Bearbeitung der Aufgabe kennen wir bereits, nämlich die des Umfangs eines Kreises:

\(U_{Kreis}=2 cdotpi cdot r\)

Mit Bezeichnung der nebenstehenden Abbildung können wir nun folgende zwei Formeln aufstellen:

Erdumfang: \(U_{Erde}=2 cdotpi cdot r_{Erde}\)
Umfang des verlängerten Seils: \(U_{Seil}=2 cdotpi cdot (r_{Erde}+h)\) wobei \(r_{Seil}=r_{Erde}+h\)

Außerdem wissen wir: \(U_{Seil}=U_{Erde}+1m\)

Nun können wir folgende Gleichung aufstellen: \(U_{Erde}+1m=2 cdotpi cdot (r_{Erde}+h) Leftrightarrow U_{Erde}+1m=2 cdotpi cdot r_{Erde}+2 cdotpi cdot h \)

Jetzt lässt sich der Erdumfang kürzen: \(1m=2 cdotpi cdot h Leftrightarrow h=frac{1m}{2cdot pi} Leftrightarrow happrox 15,9cm\)

Reflexion

Die Mathematik sagt uns also, dass der Abstand des um 1 Meter verlängerten Seils vom Erdboden ca. 15,9 cm beträgt. Wow, ein faszinierendes Ergebnis, mit dem ich nicht gerechnet hätte! 😉

Noch interessanter ist aber, dass sich bei unserer obigen Berechnung der Erdumfang weggekürzt hat. Was bedeutet das nun? Es ist egal, ob wir ein Seil um die Erde, um den Mond, um die Sonne oder aber um eine Stecknadel legen. Sobald wir das Seil um 1 Meter verlängern steht es jeweils um ca. 15, 9 cm vom jeweiligen Objekt ab. Unglaublich aber wahr…

Niklas Ströber, StR